So..... das hab ich gegoogelt und nun darf jeder Kerl seine Dimension ausrechnen und hier posten
Bestimmung der Dimension
Um die Dimension zu bestimmen, musst du also (üblicherweise) eine Basis des Vektorraums finden und dann die Anzahl der Vektoren in dieser Basis zählen. Je nachdem wie dein
Vektorraum gegeben ist gibt es dort
vielfältige Möglichkeiten.
Bei
linearen Hüllen bestimmt man die Dimension also recht leicht, indem man bestimmt, wie viele der erzeugenden Vektoren
linear unabhängig sind - das geht gut mit
diesen Algorithmus.
Im Zusammenhang mit
Abbildungen gibt es auch einen (nicht ganz so einfachen) Dimensionssatz, den du dir in seiner allgemeinen Form
hier ansehen kannst.
Da man eine Matrix A">A A auch als Abbildung interpretieren kann, gibt es diesen Satz auch für Vektorräume der Form:
V={x→∈Rn | Ax→=0→}">V={x ⃗ ∈ℝ n | Ax ⃗ =0 ⃗ } V={x→∈Rn | Ax→=0→}
Wenn ein (
Unter-)Vektorraum in dieser Form gegeben ist, lautet die allgemeine Formel für die Dimension:
Dim(V)=n−Rang(A)">Dim(V)=n−Rang(A) Dim(V)=n−Rang(A)
Dabei ist n">n n einfach nur die Anzahl deiner Variablen (bzw. Einträge im Vektor x→">x ⃗ x→ ). Dies ist manchmal auch als Rangformel bekannt, über die du
hier Genaueres findest.
Nun noch zwei Begriffe, falls du irgendwo mal den Klugscheißer raushängen lassen willst:
- Die eben genannte Menge V">V V ist ja nichts weiter als die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax=0">Ax=0 Ax=0 . Diese Menge ist gleichzeitig auch der Kern der Matrix.
Die Dimension des Kerns ist also durch dim⁡(V)">dim(V) dim(V) gegeben – der Fachbegriff dafür lautet Defekt:
def(A)=Dim(Kern(A))=n−Rang(A)">def(A)=Dim(Kern(A))=n−Rang(A) def(A)=Dim(Kern(A))=n−Rang(A)
- Auch der Rang der Matrix A">A A gibt eine Dimension an, nämlich die vom Bild der Matrix:
Dim(Bild(A))=Rang(A)">Dim(Bild(A))=Rang(A) Dim(Bild(A))=Rang(A)
Beispiele zu Basisvektoren
Für die bekannten Vektorräume
R1">ℝ 1 R1 , R2">ℝ 2 R2 und R3">ℝ 3 R3 wollen und können wir das mit den Dimensionen einmal direkt nachprüfen.
1-dimensional
Im Fall R=R1">ℝ=ℝ 1 R=R1 betrachten wir die Menge {1}">{1} {1} . Diese ist eine Basis des R">ℝ R -Vektorraums R">ℝ R , denn jede Zahl x∈R">x∈ℝ x∈R lässt sich schreiben als
x=x⋅1">x=x⋅1 x=x⋅1
also als Produkt einer Zahl und des Basiselementes 1">1 1 . Also ist {1}">{1} {1} ein minimales
Erzeugendensystem für R">ℝ R (klar, weniger als einen Vektor kann man nicht nehmen), also eine Basis.
Damit gilt
Dim(R1)=1">Dim(ℝ 1 )=1 Dim(R1)=1
2-dimensional
Jetzt sehen wir uns den R2">ℝ 2 R2 an und betrachten die Menge
B2={(10),(01)}">B 2 ={(10 ),(01 )} B2={(10),(01)}
Die beiden Vektoren sind sicherlich nicht
linear abhängig, denn der zweite ist kein Vielfaches des ersten und andersherum. Jeder Vektor x">x x aus R2">ℝ 2 R2 ,
x=(x1x2)">x=(x 1 x 2 ) x=(x1x2)
lässt sich nun schreiben als
x=(x1x2)=x1(10)+x2(01)">x=(x 1 x 2 )=x 1 (10 )+x 2 (01 ) x=(x1x2)=x1(10)+x2(01)
also als
Linearkombination der beiden Vektoren aus B2">B 2 B2 . Also ist B2">B 2 B2 ein linear unabhängiges
Erzeugendensystem von R2">ℝ 2 R2 und damit eine Basis.
Sie besteht aus zwei Vektoren, also gilt
Dim(R2)=2">Dim(ℝ 2 )=2 Dim(R2)=2
3-dimensional
Die Dimension von R3">ℝ 3 R3 sollte jetzt natürlich 3">3 3 sein. Wenn wir die Menge
B3={(100),(010),(001)}">B 3 = 100 , 010 , 001 B3={(100),(010),(001)}
betrachten, dann ist auch wieder jeder Vektor aus R3">ℝ 3 R3 darstellbar durch
x=(x1x2x3)=x1(100)+x2(010)+x3(001)">x= x 1 x 2 x 3 =x 1 100 +x 2 010 +x 3 001 x=(x1x2x3)=x1(100)+x2(010)+x3(001)
und die gleichen Argumente wie für R2">ℝ 2 R2 zeigen, dass es sich bei B3">B 3 B3 um eine Basis des R3">ℝ 3 R3 handelt. Deshalb gilt
Dim(R3)=3">Dim(ℝ 3 )=3 Dim(R3)=3
n">n n -dimensional
Die gleichen Argumente wie vorher zeigen, dass allgemein für jedes n∈N">n∈ℕ n∈N gilt:
Dim(Rn)=n">Dim(ℝ n )=n Dim(Rn)=n
Beispiel zum Dimenssionssatz
Wenn wir folgenden Vektorraum gegeben haben:
V={(x1x2x3)∈R3 | x1+x2−x3=0, x3=x2}">V= x 1 x 2 x 3 ∈ℝ 3 | | | | | | x 1 +x 2 −x 3 =0, x 3 =x 2 V={(x1x2x3)∈R3 | x1+x2−x3=0, x3=x2}
Dann können wir die Dimension nun nicht mehr ohne Weiteres ablesen – sie ist insbesondere nicht 3. Zur Bestimmung brauchen wir den Dimensionssatz von oben. Dieser sagt, dass
Dim(V)=n−rang(A)">Dim(V)=n−rang(A) Dim(V)=n−rang(A)
Eine ausführliche Besprechung
gibt es hier.
Zunächst ist n">n n leicht zu bestimmen, denn es ist einfach nur die Anzahl unserer Variablen: 3. Für den Rang brauchen wir erstmal eine Matrix A">A A . Diese steht für die
Koeffizientenmatrix des homogenen LGS Ax=0">Ax=0 Ax=0 , was durch die Gleichungen gegeben ist.
Hier müssen wir bei der zweiten Gleichung erstmal dafür sorgen, dass rechts eine Null steht:
x3=x2⇒x3−x2=0">x 3 =x 2 ⇒x 3 −x 2 =0 x3=x2⇒x3−x2=0
Nun kann man mit den Gleichungen, die Koeffizientenmatrix A">A A ermitteln:
(I)x1+x2−x3=0(II)−x2+x2=0 ⇓A=(11−10−11)">(I)(II) x 1 +x 2 −x 3 −x 2 +x 2 ⇓ =0=0 A=(10 1−1 −11 ) (I)x1+x2−x3=0(II)−x2+x2=0 ⇓A=(11−10−11)
Diese Matrix ist bereits in
Zeilenstufenform, sodass wir den Rang ablesen können. Es gibt keine Nullzeilen, also ist der Rang 2">2 2 . Damit haben wir alles für die Dimension von V">V V zusammen:
Dim(V)=n−Rang(A)=3−2=1">Dim(V) =n−Rang(A)=3−2=1 Dim(V)=n−Rang(A)=3−2=1
Die Menge V">V V beschreibt also eine Gerade.
Nach Planck und Hawking müssen Strings demnach klein sein, die haben das festgelegt quasi.
Länge x Breite x Höhe der Krainer + der Zeit die brauchst um sie zu verdrücken - 
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